Introducción a Teoría de Juegos

(Fundamentos) Microeconomía

Prof. Luis Chancí

Contenido

Introducción
Juegos y decisiones estratégicas
Estrategias dominantes
Equilibrio de Nash (revisión)
Estrategias maximin, esperanza de pago
Estrategias mixtas
Juegos repetidos
Juegos secuenciales (forma extensiva, inducción hacia atrás)
Amenazas, compromisos y credibilidad
Disuasión de entrada
Subastas

Introducción: Retomando, ¿por qué teoría de juegos?

En temas anteriores como monopolio y competencia, exploramos decisiones de producción y precios, pero a menudo de forma aislada o con interacciones simples.
Insinuamos la dificultad de lograr acuerdos entre agentes (por ejemplo, empresas de un cartel) para mantener precios altos. La teoría de juegos nos da las herramientas para analizar esto formalmente.

Nota intuitiva: La diferencia clave que introduce la Teoría de Juegos es la interdependencia estratégica. Mis resultados no solo dependen de mis acciones, sino también de las tuyas. Ejemplo 1, Ajedrez: No puedo planear mi jugada sin anticipar tu respuesta. Ejemplo 2, Fútbol: Un penal no se patea al mismo lugar si el arquero sabe de antemano dónde irá el balón.

La teoría de juegos nos ayuda a responder preguntas estratégicas clave:
- ¿Cuándo me conviene cooperar y cuándo competir?
- ¿Cómo reaccionará mi rival a mis decisiones de precios o publicidad?
- ¿Puedo tomar acciones hoy para disuadir a un competidor de entrar a mi mercado mañana?
- ¿Por qué en algunos mercados hay guerras de precios y en otros una “paz” aparente?
Para ello, formaliza tres elementos centrales: jugadores, estrategias (los planes de acción) y pagos (los resultados).

1. Juegos y Decisiones Estratégicas

Juegos y Decisiones Estratégicas

Juego: Cualquier situación en la que los participantes (jugadores) toman decisiones estratégicas, es decir, decisiones que consideran las acciones y respuestas de los demás.
Pago (Payoff): El valor o beneficio que un jugador recibe tras un resultado determinado (puede ser dinero, utilidad, etc.).
Estrategia: Un plan de acción completo y preestablecido para jugar. Especifica qué hará el jugador en cada situación posible del juego.
Estrategia Óptima: Aquella estrategia que maximiza el pago esperado de un jugador.
Ejemplo: “Piedra, papel o tijera”.
- Jugadores: Tú y un oponente.
- Estrategias: Elegir piedra, papel o tijera.
- Pagos: Ganar (+1), perder (-1) o empatar (0).
- Estrategia Óptima: Jugar de forma aleatoria. Un plan fijo (ej. “siempre jugar piedra”) es predecible y tu rival lo explotaría eligiendo siempre papel. La impredictibilidad es clave.

El supuesto fundamental es la racionalidad. La pregunta clave que nos hacemos es: ‘Si mis competidores son racionales y buscan maximizar sus propios beneficios, ¿cómo debo tener en cuenta su comportamiento al tomar mis propias decisiones?’

Juegos y Decisiones Estratégicas

Juegos Cooperativos vs. No Cooperativos

Juego Cooperativo: Los jugadores pueden negociar y firmar contratos vinculantes que les permiten planificar estrategias conjuntas.
- Ejemplo: Dos empresas que se fusionan para maximizar las ganancias conjuntas. La negociación y el acuerdo son explícitos y legalmente vinculantes. La OPEP intenta actuar de esta forma.
Juego No Cooperativo: Los jugadores no pueden negociar ni firmar contratos vinculantes. Cada uno actúa por su cuenta, aunque de forma estratégica. Se analizan los incentivos individuales.
- Ejemplo: Dos estaciones de servicio compitiendo en la misma calle. No pueden acordar legalmente fijar un precio alto, por lo que cada una debe anticipar la estrategia de precios de la otra.

En la mayoría de los análisis de mercados, nos enfocaremos en juegos no cooperativos, ya que la colusión suele ser ilegal y difícil de mantener.

Juegos y Decisiones Estratégicas

Representaciones y Notación

Para analizar un juego, necesitamos una forma de representarlo. Las dos más comunes son:

Forma Normal (Matriz de Pagos): Ideal para juegos simultáneos, donde los jugadores eligen sus acciones al mismo tiempo (o sin saber lo que el otro ha elegido). Muestra jugadores, estrategias y los pagos resultantes para cada combinación de estrategias.
Forma Extensiva (Árbol de Decisión): Perfecta para juegos secuenciales, donde los jugadores se mueven en un orden definido. Muestra el orden de los movimientos, las acciones disponibles en cada turno y los pagos finales. Es la base para la inducción hacia atrás.

Convenciones y Conceptos Clave:

Pagos: Se representan como un par ordenado: $(\pi_1, \pi_2)$ o $(U_1, U_2)$, donde el primer número es el pago del jugador “fila” (usualmente a la izquierda) y el segundo es el pago del jugador “columna” (arriba).
Mejor Respuesta (Best Response): Es la estrategia que maximiza el pago de un jugador, dada una estrategia específica de su rival.

2. Estrategias Dominantes

Estrategias Dominantes — Ejemplo (Publicidad)

Estrategia Dominante: Es una estrategia que resulta ser la mejor para un jugador, sin importar lo que elija su oponente. Es una opción óptima en todos los escenarios.

Ejemplo. Dos empresas (A y B) venden productos competidores y deciden si lanzar o no una costosa campaña publicitaria.

\[\begin{array}{cc|cc} & & \textbf{Empresa B} & \\ & & \text{Publicitar} & \text{No Publicitar} \\ \hline \textbf{Empresa A} & \text{Publicitar} & 10, 5 & 15, 0 \\ & \text{No Publicitar} & 6, 8 & 10, 2 \\ \end{array}\]

Análisis para la Empresa A (fila):
- Si B hace publicidad, A prefiere Publicitar (gana 10) a No Publicitar (gana 6).
- Si B no hace publicidad, A prefiere Publicitar (gana 15) a No Publicitar (gana 10).
Análisis para la Empresa B (columna):
- Si A hace publicidad, B prefiere Publicitar (gana 5) a No Publicitar (gana 0).
- Si A no hace publicidad, B prefiere Publicitar (gana 8) a No Publicitar (gana 2).
Dominantes: A elige Publicitar (10>6 y 15>10); B elige Publicitar (5>0 y 8>2).

Estrategias Dominantes y Equilibrio

Equilibrio en Estrategias Dominantes: Es el resultado que se obtiene cuando cada jugador elige su estrategia dominante. Es un concepto de equilibrio muy fuerte y estable, pero no siempre existe.

En el ejemplo anterior, el equilibrio es (Publicitar, Publicitar), con pagos de (10, 5). Sin embargo, no todos los juegos tienen estrategias dominantes. Modifiquemos un poco el pago de la Empresa A.

\[\begin{array}{cc|cc} & & \textbf{Empresa B} \\ & & \text{Publicitar} & \text{No Publicitar} \\ \hline \textbf{Empresa A} & \text{Publicitar} & 10, 5 & 15, 0 \\ & \text{No Publicitar} & 6, 8 & 20, 2 \\ \end{array}\]

Análisis del nuevo juego:
- Empresa A: Si B publicita, prefiere Publicitar (10 > 6). Pero si B no publicita, prefiere No Publicitar (20 > 15). A ya no tiene una estrategia dominante. Su mejor opción depende de B.
- Empresa B: Su lógica no cambia, sigue teniendo a Publicitar como estrategia dominante (5 > 0 y 8 > 2).

¿Cómo predecir el resultado? A puede anticipar que B, al ser racional, elegirá su dominante (Publicitar). Por lo tanto, A debería elegir la mejor respuesta a eso, que es Publicitar. Este tipo de razonamiento nos lleva a un concepto más general: el Equilibrio de Nash.

3. El Equilibrio de Nash (Revisión)

Revisión del Equilibrio de Nash — Coordinación

Recordemos la diferencia fundamental:

Estrategias Dominantes: ‘Hago lo mejor para mí, sin importar lo que tú hagas’.
Equilibrio de Nash: ‘Hago lo mejor para mí, dado lo que tú estás haciendo’.
- Formalmente: Ningún jugador tiene un incentivo unilateral para desviarse de su estrategia.

Ejemplo: Problema de Elección de Producto

Dos empresas de cereales pueden lanzar un nuevo producto. El mercado tiene espacio para una versión “Crispy” y una “Dulce”. Si ambas lanzan la misma, se canibalizan y pierden dinero.

\[\begin{array}{cc|cc} & & \textbf{Empresa 2} & \\ & & \text{Crispy} & \text{Dulce} \\ \hline \textbf{Empresa 1} & \text{Crispy} & -5, -5 & 10, 10 \\ & \text{Dulce} & 10, 10 & -5, -5 \\ \end{array}\]

En este juego no hay estrategias dominantes.
Existen dos Equilibrios de Nash en estrategias puras: (Crispy, Dulce) y (Dulce, Crispy).
Ambos son equilibrios porque si, por ejemplo, estamos en (Crispy, Dulce), la Empresa 1 no querrá cambiar a Dulce (obtendría -5 en lugar de 10) y la Empresa 2 no querrá cambiar a Crispy (obtendría -5 en lugar de 10).
Se ilustra un problema de coordinación: ambos equilibrios son eficientes, pero las empresas podrían no saber cuál elegir y terminar en un mal resultado (-5, -5).

4. Estrategias maximin y de pago esperado

Estrategia Maximin: Minimizando la pérdida máxima

A veces, un jugador no tiene una estrategia dominante y no puede predecir con certeza qué hará su oponente. En un contexto de incertidumbre, una estrategia conservadora es la Maximin.

Estrategia Maximin: El jugador evalúa el peor resultado posible para cada una de sus estrategias y luego elige la estrategia que le ofrece el mejor de esos peores resultados. El objetivo es maximizar la ganancia mínima (o minimizar la pérdida máxima). Es un enfoque de “seguridad primero”.

Ejemplo:

\[\begin{array}{cc|cc} & & \textbf{Empresa 2} & \\ & & \text{No Invertir} & \text{Invertir} \\ \hline \textbf{Empresa 1} & \text{No Invertir} & 0, 0 & -10, 10 \\ & \text{Invertir} & -100, 0 & 20, 10 \\ \end{array}\]

Análisis Maximin para la Empresa 1:
1. Si elijo “No Invertir”: El peor pago que puedo obtener es -10.
2. Si elijo “Invertir”: El peor pago que puedo obtener es -100.
3. Decisión: Comparo los peores resultados (-10 y -100) y elijo el máximo. Como $-10 > -100$, la estrategia maximin para la Empresa 1 es No Invertir.
Alternativa: Maximizar el Pago Esperado Si la Empresa 1 cree que hay una probabilidad p de que la Empresa 2 invierta, puede calcular el pago esperado de cada acción y elegir la que le dé un mayor valor.

El Dilema del Prisionero

Este es quizás el juego más famoso de la teoría de juegos porque ilustra un conflicto fundamental: la racionalidad individual puede llevar a resultados colectivamente malos.

Dos sospechosos (A y B) son arrestados y mantenidos en celdas separadas. No pueden comunicarse. La policía les ofrece a cada uno el mismo trato: Si uno confiesa y el otro no, el que confiesa sale libre (-1 año) y al otro le caen 10 años. Si ambos confiesan, ambos reciben una sentencia reducida de 5 años. Si ninguno confiesa, solo pueden condenarlos por un cargo menor, recibiendo 2 años cada uno.

\[\begin{array}{cc|cc} & & \textbf{Prisionero B} & \\ & & \text{Confesar} & \text{No Confesar} \\ \hline \textbf{Prisionero A} & \text{Confesar} & -5, -5 & -1, -10 \\ & \text{No Confesar} & -10, -1 & -2, -2 \\ \end{array}\]

Análisis: (i) Para A: Si B confiesa, es mejor Confesar (-5 vs -10), y si B no confiesa también es mejor Confesar (-1 vs -2), es decir, confesar es una estrategia dominante para A; (ii) Para B: La situación es simétrica, por lo que confesar es también una estrategia dominante para B.
Resultado: El único Equilibrio de Nash (y en estrategias dominantes) es (Confesar, Confesar).
El Dilema: Ambos terminan con 5 años de cárcel, aunque podrían haber estado mucho mejor si ambos se hubieran quedado callados, obteniendo solo 2 años. El resultado del equilibrio es Pareto-ineficiente.

5. Estrategias Mixtas

Estrategias Mixtas — Matching Pennies (Pares y Nones)

¿Qué pasa cuando no hay un Equilibrio de Nash en estrategias puras?

Estrategia Pura: Un jugador elige una acción específica con probabilidad 1.
Estrategia Mixta: Un jugador elige aleatoriamente entre dos o más acciones, según un conjunto de probabilidades.

Veamos a continuación en ejemplo Cara o Cruz (Matching Pennies) en donde dos jugadores (A y B) muestran una moneda. Si coinciden (ambas caras o ambas cruces), A le paga $1 a B. Si no coinciden, B le paga $1 a A.

Estrategias Mixtas — Matching Pennies (Pares y Nones)

\[\begin{array}{cc|cc} & & \textbf{Jugador B} \\ & & \text{Cara} & \text{Cruz} \\ \hline \textbf{Jugador A} & \text{Cara} & 1, -1 & -1, 1 \\ & \text{Cruz} & -1, 1 & 1, -1 \\ \end{array}\]

Análisis: Si buscamos las mejores respuestas, veremos que el proceso es cíclico. No hay un par de estrategias estables. No existe un Equilibrio de Nash en estrategias puras.

Equilibrio en Estrategias Mixtas: El equilibrio se alcanza cuando cada jugador elige sus probabilidades de forma que el otro jugador sea indiferente entre sus acciones.

Cálculo (desde la perspectiva de A):
- Sea $p$ la probabilidad de que B juegue Cara.
- El pago esperado de A si juega Cara es: $E_A(\text{Cara}) = p(1) + (1-p)(-1) = 2p - 1$.
- El pago esperado de A si juega Cruz es: $E_A(\text{Cruz}) = p(-1) + (1-p)(1) = 1 - 2p$.
- Para que A esté dispuesto a mezclar, debe ser indiferente: $E_A(\text{Cara}) = E_A(\text{Cruz})$.
- $2p - 1 = 1 - 2p \implies 4p = 2 \implies p = 1/2$.
- Por simetría, A también debe jugar Cara con probabilidad 1/2 para que B sea indiferente.
El equilibrio en estrategias mixtas es que ambos jueguen Cara o Cruz con probabilidad 50%.

Estrategias Mixtas — La Batalla de los Sexos

Este juego ilustra la coordinación con conflicto de intereses. Joan y Jim quieren pasar la noche juntos, pero tienen preferencias distintas. A partir de la siguiente matriz de pagos, veamos los equilibrios en (1) estrategias puras y (2) mixtas.

\[\begin{array}{cc|cc} & & \textbf{Jim} & \\ & & \text{Lucha} & \text{Ópera} \\ \hline \textbf{Joan} & \text{Lucha} & 2, 1 & 0, 0 \\ & \text{Ópera} & 0, 0 & 1, 2 \\ \end{array}\]

Equilibrios en Estrategias Puras: Hay dos, (Lucha, Lucha) y (Ópera, Ópera). Son situaciones de coordinación exitosa, aunque cada uno prefiere un equilibrio distinto.

Estrategias Mixtas — La Batalla de los Sexos

Equilibrio en Estrategias Mixtas: También existe un equilibrio donde ambos aleatorizan.

Cálculo (para que Jim sea indiferente):
- Sea $p$ la probabilidad de que Joan elija Lucha.
- $E_{Jim}(\text{Lucha}) = p(1) + (1-p)(0) = p$.
- $E_{Jim}(\text{Ópera}) = p(0) + (1-p)(2) = 2 - 2p$.
- Indiferencia: $p = 2 - 2p \implies 3p = 2 \implies p = 2/3$.
- Joan debe ir a Lucha con prob. 2/3 y a la Ópera con prob. 1/3.
Cálculo (para que Joan sea indiferente):
- Sea $q$ la probabilidad de que Jim elija Lucha.
- $E_{Joan}(\text{Lucha}) = q(2) + (1-q)(0) = 2q$.
- $E_{Joan}(\text{Ópera}) = q(0) + (1-q)(1) = 1 - q$.
- Indiferencia: $2q = 1 - q \implies 3q = 1 \implies q = 1/3$.
- Jim debe ir a Lucha con prob. 1/3 y a la Ópera con prob. 2/3.

6. Juegos Repetidos

Juegos Repetidos: La Sombra del Futuro

Hasta ahora, hemos visto juegos que se juegan una sola vez. Pero en el mundo real, las empresas interactúan repetidamente. ¿Cómo cambia esto los incentivos?
Juego Repetido: Un juego en el que las acciones se toman y los pagos se reciben una y otra vez.
La repetición introduce nuevos factores: la reputación y la posibilidad de castigar o premiar el comportamiento pasado. La “sombra del futuro” puede disciplinar el comportamiento presente.

Juegos Repetidos: La Sombra del Futuro

Ejemplo: Un Dilema del Prisionero de Precios

Dos empresas fijan precios altos o bajos. El equilibrio en una sola ronda es que ambas fijen precios bajos, aunque estarían mejor si ambas fijaran precios altos.

\[\begin{array}{cc|cc} & & \textbf{Empresa 2} & \\ & & \text{Precio Bajo} & \text{Precio Alto} \\ \hline \textbf{Empresa 1} & \text{Precio Bajo} & 10, 10 & 100, -50 \\ & \text{Precio Alto} & -50, 100 & 50, 50 \\ \end{array}\]

En una sola ronda: La estrategia dominante para ambas es “Precio Bajo”, llevando al resultado (10, 10).
¿Y si el juego se repite cada mes? ¿Podrían las empresas encontrar una forma de mantener el resultado cooperativo (50, 50)?

Juegos Repetidos: Estrategias y Cooperación

Estrategia del Talión (Tit-for-Tat)

Una estrategia muy conocida y efectiva en juegos repetidos:

Primer movimiento: Empieza cooperando (ej. Precio Alto).
Siguientes movimientos: Haz lo que tu oponente hizo en el movimiento anterior.
- Si cooperó, coopera.
- Si te traicionó, castígalo traicionándolo en la siguiente ronda.

Esta estrategia es a la vez amable (empieza cooperando), vengativa (castiga la traición) y misericordiosa (vuelve a cooperar si el oponente lo hace).

Juegos Repetidos: Estrategias y Cooperación

Juego Repetido Infinitamente

Si el juego se repite para siempre (o si hay una probabilidad constante de que continúe), la cooperación puede ser un equilibrio.

La cooperación (ej. ambos con Precio Alto) puede sostenerse mediante una estrategia de castigo creíble (como “Tit-for-Tat” o “Grim Trigger” - si me traicionas una vez, pondré Precio Bajo para siempre).
La cooperación es sostenible si la ganancia de traicionar hoy es menor que la pérdida futura (descontada) por el castigo.
Formalmente, con pagos de un dilema del prisionero ($T>R>P>S$), la cooperación es un equilibrio si: \[ \delta \;\ge\; \frac{T-R}{T-P} \] donde $\delta$ es el factor de descuento ($0 < \delta < 1$). $\delta$ refleja cuán pacientes son los jugadores: un $\delta$ alto significa que el futuro es muy importante.

Idea: la pérdida presente por ser castigado compensa la ganancia puntual por desviarse.

Juego Repetido con un Final Conocido (Número Finito de Repeticiones)

Supongamos que el juego se repite un número finito y conocido de veces (ej. 10 meses). Si ambos jugadores son perfectamente racionales, la lógica de la cooperación se desmorona. Usemos la inducción hacia atrás:

En el último mes (Mes 10): El juego está por terminar. No hay futuro, por lo que no hay temor a un castigo. Ambos jugadores ven esto como un juego de “una sola ronda”. La estrategia dominante es traicionar (fijar Precio Bajo) para obtener la máxima ganancia ese mes. Ambos lo saben y ambos fijarán Precio Bajo.
En el penúltimo mes (Mes 9): Ambos jugadores anticipan que en el mes 10 se traicionarán mutuamente sin importar lo que pase en el mes 9. Por lo tanto, cualquier promesa de cooperación o amenaza de castigo para el mes 10 no es creíble. El mes 9 se convierte, en la práctica, en el último mes estratégico. La lógica se repite: ambos traicionarán en el mes 9.
El efecto dominó: Este razonamiento se aplica hacia atrás desde el mes 10 hasta el mes 1. La cooperación se desmorona desde el principio.

Conclusión teórica: Si el número de periodos es finito y conocido, y todos son racionales, el único equilibrio es jugar la estrategia de Nash del juego de una ronda (traicionar) en cada periodo.

Tit-for-Tat en la Práctica

¿Por qué vemos cooperación en la práctica?

El resultado de la inducción hacia atrás parece demasiado extremo y, a menudo, no concuerda con lo que observamos. La cooperación sí ocurre, incluso cuando los horizontes son teóricamente finitos. ¿Por qué?

Hay tres razones principales por las que estrategias como “Tit-for-Tat” pueden funcionar:

Horizonte temporal incierto: En la realidad, la mayoría de las empresas no saben con certeza cuándo terminará el “juego”. Mientras exista una probabilidad de que la interacción continúe, la “sombra del futuro” sigue presente y la cooperación puede ser sostenible. El fin no es predecible.
Duda sobre la racionalidad del oponente: Puede que mi competidor no sea perfectamente racional y no aplique la lógica de la inducción hacia atrás. O quizás, mi competidor cree que yo no soy racional y que podría castigarlo “irracionalmente”. Esta duda puede ser suficiente para evitar que la traición se desencadene.
Reputación: Un jugador puede querer construir una reputación de ser cooperativo (o duro, según la situación). Las acciones en las primeras rondas de un juego pueden señalar a los demás qué tipo de jugador eres, influyendo en su comportamiento futuro.

7. Juegos Secuenciales: El Orden Importa

Juegos Secuenciales

Juego Secuencial: Un juego en el que los jugadores mueven en un orden determinado (no simultáneamente). El jugador que mueve más tarde puede observar las acciones de los jugadores anteriores.
La herramienta estándar para analizar estos juegos es la forma extensiva o árbol del juego.
Análisis: Estos juegos no se resuelven buscando un equilibrio de Nash simple en una matriz, sino mediante la inducción hacia atrás. Se empieza por el final del juego y se va retrocediendo.
1. Se analiza la decisión óptima del último jugador en moverse.
2. Anticipando esa decisión, se analiza la decisión óptima del penúltimo jugador.
3. Se continúa hasta llegar al inicio del juego.
Equilibrio Perfecto en Subjuegos (SPE): Es el resultado que se obtiene al aplicar la inducción hacia atrás. Es un concepto de equilibrio más fuerte que el de Nash porque elimina las amenazas no creíbles. Una amenaza no es creíble si, llegado el momento de ejecutarla, no es del interés del jugador hacerlo.

La Ventaja (o Desventaja) de Mover Primero

En los juegos secuenciales, el orden de juego es crucial y puede conferir una ventaja significativa.

El Valor del Compromiso: Mover primero permite a un jugador comprometerse con una acción. Por ejemplo, una empresa puede construir una fábrica de gran capacidad. Esta acción es visible y, a menudo, irreversible (es un costo hundido).
Al hacerlo, el primer jugador altera el juego para los que vienen después. El segundo jugador debe ahora tomar su mejor decisión dado el compromiso del primero.
Esto puede permitir al líder asegurarse una mayor cuota de mercado o mayores beneficios. El ejemplo clásico es el modelo de oligopolio de Stackelberg, donde la empresa líder elige su producción primero, obteniendo mayores beneficios que en el modelo de Cournot (simultáneo).

Mover primero no siempre es una ventaja (ej. si hay incertidumbre y es mejor esperar a tener más información), pero en muchos contextos estratégicos, el compromiso es una herramienta poderosa.

8. Amenazas, Compromisos y Credibilidad

Amenazas, Compromisos y Credibilidad

La inducción hacia atrás nos enseña a ignorar las amenazas que no son creíbles. Pero, ¿puede un jugador hacer que una amenaza sea creíble?

Amenaza Vacía (No Creíble): Una amenaza que, si llegara el momento de ejecutarla, perjudicaría al propio jugador que la emite. Un jugador racional la ignorará.
Compromiso Estratégico: Para hacer una amenaza creíble, un jugador puede tomar una acción que lo comprometa. La clave es que la acción sea visible e irreversible. Esto cambia los pagos futuros del propio jugador, haciendo que cumplir la amenaza sea su opción racional.

Ejemplo: Race Car Motors (RCM) produce autos, y Far Out Engines (FOE) produce motores. FOE prefiere producir motores grandes y RCM autos grandes.

Amenaza de FOE: “Produciré motores grandes sin importar lo que haga RCM”.
Análisis: Si RCM produce autos pequeños, es más rentable para FOE producir motores pequeños. La amenaza, por sí sola, no es creíble. RCM la ignoraría y produciría autos pequeños.
¿Cómo hacerla creíble? FOE podría desmantelar públicamente parte de su capacidad de producción de motores pequeños. Este compromiso irrevocable cambia sus propios pagos. Ahora, incluso si RCM elige autos pequeños, la mejor opción para FOE (y quizás la única) es producir motores grandes. La amenaza se ha vuelto creíble y RCM se ve forzada a producir autos grandes.

9. Disuasión de Entrada

Disuadir la Entrada: Capacidad y Precios

Un uso clave de los compromisos estratégicos es disuadir la entrada de competidores. Una empresa establecida (el incumbente) quiere convencer a los entrantes potenciales de que, si entran, la vida será miserable y no rentable.

Amenaza: “Si entras a mi mercado, desataré una guerra de precios y te expulsaré”.
Problema de credibilidad: Una vez que el rival ha entrado y ha hundido sus costos, al incumbente podría convenirle más acomodar la entrada y compartir el mercado en un duopolio que iniciar una costosa guerra de precios. La amenaza puede ser vacía.
¿Cómo hacer la amenaza creíble?
- Invertir en exceso de capacidad: El incumbente puede construir una fábrica mucho más grande de lo que necesita para su producción de monopolio. Esta inversión es un costo hundido y un compromiso visible.
- Lógica: Con esta capacidad extra, el costo marginal de producir más unidades es muy bajo. Si un rival entra, la respuesta óptima del incumbente ahora sí es aumentar masivamente la producción, lo que desploma el precio del mercado a un nivel no rentable para el nuevo entrante.
- El compromiso de invertir en capacidad transforma la amenaza de una guerra de precios de no creíble a creíble. El entrante potencial, anticipando esto, preferirá no entrar.

Disuasión de Entrada: Política Comercial Estratégica

El concepto de compromiso estratégico puede extenderse a la política gubernamental.

Escenario: Airbus vs. Boeing - Contexto: El mercado global para un nuevo tipo de avión comercial es inmenso, pero los costos fijos de diseño y desarrollo son tan astronómicos que el mercado solo puede sostener rentablemente a una empresa. - El Juego: Si ambas empresas deciden producir, ambas pierden dinero. Si solo una produce, obtiene enormes beneficios. Si ninguna produce, el pago es cero. Es un juego de “gallina” (chicken game) a escala global.

\[\begin{array}{cc|cc} & & \textbf{Boeing} & \\ & & \text{Producir} & \text{No Producir} \\ \hline \textbf{Airbus} & \text{Producir} & -10, -10 & 100, 0 \\ & \text{No Producir} & 0, 100 & 0, 0 \\ \end{array}\]

Intervención Estratégica: El gobierno europeo puede querer asegurar que Airbus sea quien domine el mercado. ¿Cómo?
- El Compromiso: El gobierno puede comprometerse creíblemente a dar a Airbus un subsidio de, digamos, 20, si decide producir. El subsidio debe ser irrevocable.
- El Nuevo Juego: El subsidio cambia la matriz de pagos solo para Airbus. Producir se convierte en una estrategia dominante para Airbus (10 > 0 y 120 > 100).
- Resultado: Boeing, anticipando que Airbus producirá sin importar lo que haga, sabe que si entra perderá dinero. Su mejor respuesta es no entrar. El subsidio ha disuadido la entrada de Boeing y ha garantizado el mercado para Airbus.

10. Subastas

Subastas: Introducción

¿Qué es una subasta? Es un mecanismo de mercado para vender un bien o servicio a través de un proceso de licitación o puja. Son una forma eficiente de asignar recursos y descubrir precios cuando el vendedor no conoce la valoración de los compradores.
Actores Principales:
- Vendedor: Quiere diseñar la subasta para maximizar su ingreso, la eficiencia, o lograr otros objetivos.
- Postores (Bidders): Los potenciales compradores que compiten por el bien.
Objetivos Clásicos:
- Objetivo del Postor: Maximizar su utilidad esperada. Si su valoración privada por el bien es $v_i$ y paga un precio $p_i$, su utilidad es $v_i - p_i$ si gana, y 0 si pierde.
- Objetivo del Vendedor: Usualmente, maximizar el ingreso esperado de la venta.
Notación Básica:
- $v_i$: Valoración del postor $i$ (lo máximo que está dispuesto a pagar).
- $b_i$: Puja (bid) del postor $i$.
- $p_i$: Precio que paga el postor $i$ si gana.

Formatos de Subasta Canónicos

Existen muchos formatos, pero cuatro son fundamentales:

Subasta Inglesa (Ascendente):
- Cómo funciona: El subastador empieza con un precio bajo y lo va subiendo. Los postores se van retirando hasta que solo queda uno, que gana y paga el precio final. Ejemplo: Subastas de arte, eBay (en su forma más básica).
Subasta Holandesa (Descendente):
- Cómo funciona: El subastador empieza con un precio muy alto y lo va bajando. El primer postor que acepta el precio se lleva el bien y paga ese precio. Ejemplo: Subastas de flores en los Países Bajos, algunas ventas de liquidación.
Subasta a Primer Precio en Sobre Cerrado (FPSB):
- Cómo funciona: Cada postor envía una única puja secreta. Los sobres se abren y el postor con la puja más alta gana el bien, pagando el monto de su propia puja. Ejemplo: Licitaciones de contratos públicos, venta de activos.
Subasta a Segundo Precio en Sobre Cerrado (SPSB o Vickrey):
- Cómo funciona: Cada postor envía una única puja secreta. El postor con la puja más alta gana, pero paga el monto de la segunda puja más alta. Ejemplo: Menos común en la práctica, pero teóricamente muy importante. Mecanismos de anuncios de Google tienen elementos de este tipo.

Entornos y Supuestos Clave

El comportamiento óptimo en una subasta depende crucialmente del entorno de valoración:

Valores Privados Independientes (IPV): La valoración de cada postor, $v_i$, es conocida solo por él y no depende de lo que otros postores piensen. Mi valoración de una galleta depende de mi gusto, no de cuánto te gusta a ti.
- Es el supuesto más común y simple. Se asume que cada $v_i$ viene de una distribución de probabilidad conocida, $F$.
Valores Comunes (VC): El valor real del objeto es el mismo para todos, pero nadie lo conoce con certeza. Cada postor tiene una estimación o señal privada sobre ese valor común.
- Ejemplo: Una concesión petrolera. El valor es la cantidad de petróleo bajo tierra (el mismo para todos), pero cada empresa tiene su propia estimación geológica (su señal).
- Peligro: Esto da lugar a la maldición del ganador.
Supuestos “Canon” para los resultados teóricos básicos: Para simplificar el análisis y obtener resultados de referencia, a menudo se asume: (1) Valores Privados (IPV), (2) Postores Simétricos (todos extraen sus valoraciones de la misma distribución $F$), y (3) Neutralidad al Riesgo (los postores solo buscan maximizar su ganancia esperada).

Subasta de Segundo Precio (Vickrey): Pujar tu Valor es Dominante

Afirmación Clave (en entorno IPV): En una subasta de segundo precio, la estrategia débilmente dominante para cada jugador es pujar su verdadera valoración ($b_i = v_i$).

Argumento Intuitivo (¿Por qué no mentir?): Sea $B_{max}$ la puja más alta entre todos los demás postores. Tú ganas si tu puja $b_i > B_{max}$. Si ganas, pagas $B_{max}$.

Caso 1: Pujas tu valor ($b_i = v_i$)
- Si ganas, es porque $v_i > B_{max}$, y pagas $B_{max}$. Tu utilidad es $v_i - B_{max} > 0$. ¡Bien!
- Si pierdes, es porque $v_i < B_{max}$. Si hubieras ganado, hubieras pagado $B_{max}$, con una utilidad de $v_i - B_{max} < 0$. ¡Perder fue lo correcto!
Caso 2: Pujas por debajo de tu valor ($b_i < v_i$)
- No ganas nada con esto. Si ibas a ganar con $b_i = v_i$, sigues ganando y pagando lo mismo.
- Pero te arriesgas a perder cuando podrías haber ganado rentablemente (si $b_i < B_{max} < v_i$).
Caso 3: Pujas por encima de tu valor ($b_i > v_i$)
- No ganas nada. Si ibas a perder con $b_i = v_i$, ahora podrías ganar, pero solo si $v_i < B_{max} < b_i$.
- En ese caso, ganas y pagas $B_{max}$, pero como $B_{max} > v_i$, ¡obtienes una utilidad negativa!

Conclusión: No hay ningún beneficio en mentir, y sí hay riesgos. Pujar tu verdadero valor es la estrategia más segura y óptima. Esto hace que la subasta sea eficiente: el bien siempre se lo lleva quien más lo valora.

Subasta de Primer Precio (FPSB): El Arte de “Sombrear”

En una subasta a primer precio, si ganas, pagas lo que pujaste. Pujar tu verdadero valor ($b_i=v_i$) te garantiza una utilidad de cero… No es una buena idea!

La Estrategia Óptima: Debes pujar por debajo de tu valoración. A esto se le llama “sombrear” tu puja ( bid shading ).
El Trade-Off Estratégico:
- Pujar más alto: Aumenta tu probabilidad de ganar.
- Pujar más bajo: Aumenta tu ganancia condicional a ganar ($v_i - b_i$).
La puja óptima $b(v)$ resuelve este trade-off. En un entorno simétrico (IPV, $n$ postores, $v_i \sim F$), la estrategia de equilibrio es: \[ b(v) = v - \frac{\int_{0}^{v} [F(t)]^{\,n-1}\,dt}{[F(v)]^{\,n-1}} \]
Intuición de la fórmula: La puja óptima es tu valor ($v$) menos un término de “sombreado”. Ese término representa la ganancia que dejas de percibir por el hecho de tener que pujar más para vencer a los rivales. Es el pago esperado condicional a que tu valoración sea la más alta.

FPSB con Valores Uniformes: Una Regla Simple

Si las valoraciones $v_i$ se distribuyen de forma uniforme entre 0 y 1 ($v_i \sim U[0,1]$), la fórmula de la puja óptima se simplifica enormemente: \[ b(v) = \frac{n-1}{n} \cdot v \] donde $n$ es el número total de postores.

Interpretación: Se debe pujar una fracción del valor. Esa fracción depende de cuánta competencia se enfrenta.
Ejemplos:
- Con 2 postores ($n=2$): Pujas la mitad de tu valor, $b(v) = \frac{1}{2}v$.
- Con 3 postores ($n=3$): Pujas dos tercios de tu valor, $b(v) = \frac{2}{3}v$.
- Con 10 postores ($n=10$): Pujas nueve décimos de tu valor, $b(v) = \frac{9}{10}v$.
Una intuición es que a medida que el número de competidores ($n$) aumenta, la competencia se vuelve más intensa. Para tener una oportunidad de ganar, debes “sombrear” menos tu puja, acercándola cada vez más a tu verdadero valor. Si $n \to \infty$, entonces $b(v) \to v$.

El Teorema de Equivalencia de Ingresos

Un resultado sorprendente y fundamental en la teoría de subastas.

Teorema: Bajo los supuestos “canon” (IPV, simetría, neutralidad al riesgo), los cuatro formatos de subasta canónicos (Inglesa, Holandesa, FPSB, SPSB) generan el mismo ingreso esperado para el vendedor.

Intuición:
- En una subasta de segundo precio, pagas la segunda valoración más alta.
- En una de primer precio, no pagas tu valor, sino una versión “sombreada” de él.
- El teorema demuestra que, en promedio, el “sombreado” estratégico en la FPSB hace que el pago esperado del ganador sea exactamente igual a la segunda valoración más alta esperada en la SPSB. La competencia ajusta las pujas para que el resultado sea el mismo en promedio.
Implicaciones Prácticas: Si el ingreso es lo único que importa y los supuestos se cumplen, ¡el formato no importa! La elección del formato puede depender entonces de otros factores:
- Simplicidad: La subasta inglesa es muy fácil de entender.
- Prevención de colusión: Las subastas en sobre cerrado dificultan que los postores se coordinen.
- Maldición del ganador: La subasta inglesa revela más información y puede reducir este problema.

El Precio de Reserva del Vendedor

¿Debería el vendedor estar dispuesto a vender a cualquier precio, por bajo que sea? No necesariamente.

Precio de Reserva ($r$): Un precio mínimo por debajo del cual el vendedor no venderá el bien. Es, en efecto, como si el vendedor participara en su propia subasta con una valoración de $r$.
El Trade-Off:
- Ventaja: Un precio de reserva fuerza a los postores a pujar más alto, aumentando el precio final si se vende.
- Desventaja: Aumenta la probabilidad de que el bien no se venda, incluso si hay postores dispuestos a pagar algo por él.
Reserva Óptima (Teorema de Myerson): Existe un precio de reserva que maximiza el ingreso esperado del vendedor. Se calcula igualando el “valor virtual” a cero.
- Valor Virtual $\phi(v)$: Es el ingreso marginal que el vendedor obtiene de la valoración de un postor. Para un monopolista, es $IMg = P(1 - 1/\epsilon)$. En subastas, es $\phi(v) = v - \frac{1-F(v)}{f(v)}$.
- Ejemplo con $v \sim U[0,1]$: El valor virtual es $2v-1$. Igualando a cero, $\phi(r) = 2r-1=0 \implies r = 1/2$. El vendedor no debería vender por menos de 0.5.

Valores Comunes y la Maldición del Ganador cursed winner

Cuando el valor del objeto es común pero incierto (ej. una concesión petrolera), surge un problema fundamental.

El Problema: Cada postor estima el valor del objeto. Para ganar la subasta, debes tener la puja más alta, lo que probablemente significa que tenías la estimación más optimista del valor.
Maldición del Ganador (Winner’s Curse): Es la tendencia del ganador de una subasta de valor común a sobrepagar. Ganar es una “mala noticia” que te informa que todos los demás pensaban que el objeto valía menos que tú.
Comportamiento Racional: Un postor racional debe anticipar este sesgo y ajustar su puja a la baja. No debes pujar tu estimación de valor, sino tu estimación de valor condicionada a que tu estimación sea la más alta de todas. \[ \text{Puja} \approx \mathbb{E}[V \mid \text{mi señal es la más alta}] \]
Impacto del Formato:
- Subasta Inglesa: Es menos susceptible a la maldición. A medida que otros postores se retiran, revelan información sobre sus estimaciones (más bajas), permitiendo al ganador ajustar su propia valoración en tiempo real.
- Sobre Cerrado (FPSB): Es la más peligrosa, ya que no se obtiene información durante el proceso. El “sombreado” debe ser mayor.

Subastas: Mini-ejemplos Numéricos

Supongamos 3 postores con valoraciones independientes de una distribución Uniforme en [0, 1].

1) Subasta de Segundo Precio (SPSB / Vickrey)

Estrategia: Cada postor puja su verdadero valor, $b_i = v_i$.
Pago: El ganador (con la valoración más alta, $V_{(1)}$) paga la segunda valoración más alta ($V_{(2)}$).
Ingreso Esperado para el Vendedor: Es el valor esperado de la segunda valoración más alta con 3 postores.
- $E[\text{Ingreso}] = \mathbb{E}[V_{(2)}] = \frac{3-2+1}{3+1} = \frac{2}{4} = \mathbf{0.5}$.

2) Subasta de Primer Precio (FPSB)

Estrategia: Cada postor “sombrea” su puja. Con n=3 y U[0,1], la puja es $b(v) = \frac{2}{3}v$.
Pago: El ganador (con valoración $V_{(1)}$) paga su puja, que será $b(V_{(1)}) = \frac{2}{3}V_{(1)}$.
Ingreso Esperado para el Vendedor:
- $E[\text{Ingreso}] = \mathbb{E}[\frac{2}{3}V_{(1)}] = \frac{2}{3}\mathbb{E}[V_{(1)}] = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3+1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \mathbf{0.5}$.
- Como predice el Teorema de Equivalencia de Ingresos, el resultado es el mismo.

3) SPSB con Reserva Óptima de $r=0.5$. Resultado: El vendedor solo vende si la puja ganadora (y la segunda) es mayor que 0.5. Esto elimina los resultados de venta a precios bajos. El ingreso esperado aumenta, aunque a veces el bien no se venda.

¿Y si se vende más de un objeto? Subastas Multi-unidad

A menudo, un vendedor quiere vender múltiples unidades idénticas (ej. bonos del tesoro, espectro radioeléctrico). Se designan $k$ ganadores.

Formatos Comunes:
- Subasta de Precio Uniforme: Los $k$ postores más altos ganan, pero todos pagan el mismo precio. Usualmente, este precio es el de la puja más alta perdedora (la $k+1$-ésima puja).
  - Incentivos: Se asemeja a una subasta de segundo precio. Reduce la complejidad y el miedo a sobrepagar.
  - Aplicaciones: Mercado mayorista de electricidad, algunas subastas de bonos.
- Subasta de Precio Discriminatorio (Paga-lo-pujado): Los $k$ postores más altos ganan, y cada uno paga el monto de su propia puja.
  - Incentivos: Se asemeja a una subasta de primer precio. Cada ganador tiene un incentivo a “sombrear” su puja.
  - Aplicaciones: Subastas de bonos del Tesoro de EE. UU.
Publicidad Online (Google Ads): Es un caso complejo y fascinante. Utiliza una versión de subasta de segundo precio generalizada (GSP), donde la posición del anuncio y el precio pagado dependen tanto de la puja como de la calidad del anuncio.

Diseño de Subastas en la Práctica:

Si los supuestos teóricos no se cumplen, el diseño de la subasta importa, ¡y mucho! Aquí hay una lista de consideraciones prácticas:

1. ¿Son los valores privados o comunes?
- Si son comunes, prefiere formatos abiertos como la subasta inglesa para revelar información y mitigar la maldición del ganador. Proporcionar datos e informes (due diligence) es crucial.
2. ¿Son los postores simétricos?
- Si hay un postor claramente más fuerte, podría ganar a un precio muy bajo. Considera favorecer a los postores más débiles (ej. subsidios, ventajas) para fomentar la competencia y subir el precio.
3. ¿Hay riesgo de colusión?
- Si los postores pueden coordinarse, los formatos de sobre cerrado y anónimos son preferibles. Aumentar el número de postores y establecer precios de reserva sólidos también dificulta la colusión.
4. ¿Cuáles son las reglas del juego?
- Claridad ante todo: Las reglas de puja, pagos, desempates y depósitos de garantía deben ser transparentes e inequívocas para fomentar la participación.
- Fija un Precio de Reserva: Casi siempre es óptimo establecer un precio de reserva para evitar vender a precios ridículamente bajos.

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